Multiplicação e Divisão de frações

Antes de ensinar como multiplicar e dividir frações é necessário inserir alguns conceitos um pouco avançados, pois os mesmos serão utilizados futuramente.

no post Operações com frações foram explicados os componentes de uma fração (numerador e denominador) e como fazer os processos de soma e de subtração de frações.

## Em Construção ##

Mínimo Múltiplo Comum

Mínimo múltiplo comum (ou simplesmente m.m.c.) é o menor número comum a dois ou mais números, ou seja, um número que pode ser dividido pelos dois, ou mais, números considerados.

Como exemplo vamos calcular o m.m.c. de 3, 4 e 6. 

Para calcular o m.m.c. é necessário montar uma tabela. Na parte superior da tabela são colocados os números em ordem crescente, da esquerda para a direita, conforme exemplo abaixo.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$

Em seguida os procura-se o menor número maior do que 1 (um) que divide pelo menos um dos termos da tabela. Para o nosso exemplo o menor número é 2. Vamos dividir todos os números possíveis por 2, números possíveis porque ${ 3 \over 2  }$ ${ = 1,5 }$ e o m.m.c. só trabalha com números inteiros.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$ $ || $ ${ 2 }$

Observe que eu coloquei o 2 (dois) do lado direito da tabela, pois foi o número utilizado para dividir os outros. Como 3 não é divisível por 2, deve-se mantê-lo. Logo a tabela pode ser reescrita

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$  

Novamente o menor número que divide eles é o 2, então

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 2 }$

Observe que agora apareceu o número 1 (um), isso significa que não precisamos mais dividir esta parte

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ 

Note que nenhum número é divisível por 2, então vamos ao próximo menor número que divide pelo menos um termo. Neste caso vamos usar o 3.

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 3 }$

Após essa etapa veja que todos os temos são iguais a 1 (um), isso significa que chegamos ao final das reduções. 

${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$

Agora vamos pegar todos os números do lado direito da tabela, ou seja, aqueles utilizados para dividir os termos da esquerda. Em seguida é feito o produto deles (multiplicação).
Agora podemos reescrever a tabela para o cálculo do m.m.c.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 3 }$

${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ || $ ${ 2  .  2  .  3 = 12 }$

Ou seja o m.m.c. entre 3, 4 e 6 é 12.

Outro exemplo é o m.m.c. de 8 e 18

${ 8 }$ $ , $ ${ 18 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 4 }$ $ , $ ${  09 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 2 }$ $ , $ ${  09 }$ $ || $ ${ 2 }$
${ 1 }$ $ , $ ${  03 }$ $ || $ ${ 3 }$
${ 1 }$ $ , $ ${  01 }$ $ || $ ${ 3 }$

${ 1 }$ $ , $ ${  01 }$ $ || $ ${ 2  .  2  .  2 . 3 . 3 = 72 }$

Ou seja o m.m.c. entre 8 e 18 é 72.

(Eu utilizei o 0 (zero) para manter o alinhamento da tabela)

Operações com frações

As frações são comumente usadas para resoluções matemáticas (algébricas e numéricas)

Nesse contexto nota-se a importância de aprender a resolver as mais diversas operações envolvendo frações.

Primeiramente devemos entender as partes que compõem uma fração

${ numerador \over denominador }$

É importante salientar que tudo que estiver na parte superior será o numerador, e TUDO que estiver na parte inferior será o denominador. Há uma importância em salientar o TUDO para o denominador pois as regras para numeradores e para denominadores são diferentes.

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Adição de frações

Duas frações, ou mais, podem ser somadas diretamente se, e somente se, elas possuírem o mesmo denominador. Caso os denominadores das frações não sejam iguais é necessário calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre os denominadores.

Caso suas frações possuam o mesmo denominador, soma-se os numeradores e mantém o denominador. Conforme pode ser visto no exemplo abaixo:

${ 1 \over 5 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 4 \over 5 }$

Caso suas frações não possuam o mesmo denominador acesse o link a seguir e veja como é fácil calcular o m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum). O exemplo abaixo mostra a soma de duas frações com bases diferentes.

${ 2 \over 7 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 31 \over 35 } $

Agora vou mostrar passo a passo como fazer a soma de frações com denominador diferente. Primeiro passo é achar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, no caso acima o m.m.c. entre 5 e 7 é 35. Em seguida é feita a equivalência entre as frações, ou seja, elas devem ser reescritas utilizando o novo denominador. 

A primeira fração é ${ 2 \over 7 }$, logo

${ 2 \over 7 }$ $=$ ${ x \over 35 }$

resolvendo a equação acima temos que ${ x = 10 }$. Ou seja

${ 2 \over 7 }$ $=$ ${ 10 \over 35 }$

A segunda fração é ${ 3 \over 5 }$, logo

${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ x \over 35 }$

resolvendo a equação acima temos que ${ x = 21 }$. Ou seja

${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 21 \over 35 }$

Agora vamos reescrever a equação original e substituir os valores das frações antigas pelas novas.

${ 2 \over 7 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 10 \over 35 }$ $+$ ${ 21 \over 35 }$ $=$ ${ 31 \over 35 }$

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Subtração de frações

A subtração de frações ocorre igual a adição, ou seja, primeiro deve-se olhar se os denominadores são iguais, em seguida é feita a operação de subtração com os numeradores e o denominador é mantido. Caso os denominadores sejam diferentes, a primeira etapa é achar o m.m.c. entre eles, fazer a transformação da fração inicial para a nova fração (cujo denominador é igual ao m.m.c.) e em seguida faz-se a subtração da fração.
Os dois exemplos abaixo mostram duas equações com subtração de fração.

${ 4 \over 7 }$ $-$ ${ 3 \over 7 }$ $=$ ${ 1 \over 7 }$

${ 5 \over 3 }$ $-$ ${ 1 \over 2 }$ $=$ ${ 7 \over 6 }$

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É importante lembrar que não se soma ou subtrai diretamente frações com denominadores diferentes.

link para multiplicação e divisão de frações

Conjuntos Númericos

Conjuntos numéricos são grupos de números com características semelhantes. Os principais conjuntos numéricos são:

• Naturais
• Inteiros
• Racionais
• Irracionais
• Complexos

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Conjunto dos Números Naturais 

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, e abrange todos os números inteiros positivos. O nome "natural" está relacionado com a sua origem, pois eles apareceram de forma natural. Um exemplo clássico é a contagem de ovelhas, utilizava-se pedras para contar o número de ovelhas. É importante observar que o conjunto dos números naturais é infinito, pois para todo número X, haverá um número (X + 1) maior do que ele.

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

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Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, e abrange todos os números inteiros positivos, negativos e o zero. É importante observar que o conjunto dos números inteiros incorpora todos os números naturais, e para cada número natural há um número negativo equivalente, logo o conjunto dos números inteiros também é infinito.

Z = { ..., -7, -6, -5, -4, -3, -4, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

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Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, e abrange todos os números inteiros, além de números não inteiros que podem ser representados como a razão entre dois números inteiros, como por exemplo as dízimas periódicas.

Q = { ..., -7, -6, -5, -4, -${ 7 \over 2}$, -${ 10 \over 3}$, -3, -4, -1, -${ 1 \over 2}$, 0, 1, 2, ${ 8 \over 3}$, 3, ${ 7 \over 2}$, 4, 5, 6, 7, ...}

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Conjunto dos Números Irracionais

O conjunto dos números racionais é representado pela letra I, e abrange os números que não podem ser representados pela razão entre dois números inteiros.

I = { ..., -$\pi$, -$\sqrt 2$, $\sqrt 3$, e, $\pi$, $\sqrt 10$...}

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Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais compreende os conjuntos dos números racionais e irracionais. De modo que o conjunto N pertence aos R, assim como Z pertence a R. Logo:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I ⊂ R

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Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números naturais é representado pela letra C. O conjunto dos números complexos corresponde ao conjunto de pares ordenados (a, b), no qual "a" corresponde a parte real e "b" a parte imaginária. O número complexo z pode ser escrito como:

${ z = a + b i }$

de modo que "i" corresponde a parte imaginária. O conjugado de um número complexo apresenta o mesmo valor para a parte real, porém a parte imaginária possui sinal oposto. Logo o complexo conjugado de z é igual a:

${ z ^ * = a - b i }$

é importante entender que a importância dos números complexos está no termo "i", ou melhor, no quadrado de "i".

${i ^ 2 = -1}$

${ i = \sqrt -1}$

Observe que se o termo imaginário for nulo, então z é um número real, logo, os números reais são um sub-conjunto dos complexos.

R ⊂ C

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Está página visa somente uma pequena introdução aos conjuntos, futuramente serão adicionadas páginas específicas para a explicação do conjunto dos números racionais, irracionais, reais e complexos.

Operações básicas

Existem quatro operações básicas na matemática. São elas:

• Adição
• Subtração
• Multiplicação
• Divisão

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A Adição é a operação matemática que soma dois números.

$ a + b = c $

No exemplo acima "a" e "b" representam dois números, "+" representa a operação de adição, "=" representa o operador igualdade e "c" representa o resultado da soma entre "a" e "b". Por exemplo:

1 + 2 = 3

A leitura correta da equação acima é: "Um somado com dois é igual a três" ou "Um mais dois é igual a três".

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A Subtração é a operação matemática que calcula a diferença entre dois números.

a - b = c

No exemplo acima "a" e "b" representam dois números, "-" representa a operação de subtração, "=" representa o operador igualdade e "c" representa a subtração de "b" em "a". Por exemplo:

3 - 1 = 2

A leitura correta da equação acima é: "Três subtraído um é igual a dois" ou "Três menos um é igual a dois".

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A Multiplicação é a operação matemática que calcula o produto entre dois números.

a . b = c

No exemplo acima "a" e "b" representam dois números, "." representa a operação de multiplicação, "=" representa o operador igualdade e "c" representa produto de "a" em "b". Por exemplo:

3 . 2 = 6

A leitura correta da equação acima é: "Três que multiplica dois é igual a seis" ou "Três vezes dois é igual a seis".

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A Divisão é a operação matemática que calcula a razão entre dois números.

a : b = c

No exemplo acima "a" representa o numerador e "b" representam o denominador, ":" representa a operação de divisão, "=" representa o operador igualdade e "c" representa a razão entre "a" e "b". Por exemplo:

4 : 2 = 2

A leitura correta da equação acima é: "Quatro dividido por dois é igual a dois".

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