Multiplicação e Divisão de frações

Antes de ensinar como multiplicar e dividir frações é necessário inserir alguns conceitos um pouco avançados, pois os mesmos serão utilizados futuramente.

no post Operações com frações foram explicados os componentes de uma fração (numerador e denominador) e como fazer os processos de soma e de subtração de frações.

## Em Construção ##

Mínimo Múltiplo Comum

Mínimo múltiplo comum (ou simplesmente m.m.c.) é o menor número comum a dois ou mais números, ou seja, um número que pode ser dividido pelos dois, ou mais, números considerados.

Como exemplo vamos calcular o m.m.c. de 3, 4 e 6. 

Para calcular o m.m.c. é necessário montar uma tabela. Na parte superior da tabela são colocados os números em ordem crescente, da esquerda para a direita, conforme exemplo abaixo.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$

Em seguida os procura-se o menor número maior do que 1 (um) que divide pelo menos um dos termos da tabela. Para o nosso exemplo o menor número é 2. Vamos dividir todos os números possíveis por 2, números possíveis porque ${ 3 \over 2  }$ ${ = 1,5 }$ e o m.m.c. só trabalha com números inteiros.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$ $ || $ ${ 2 }$

Observe que eu coloquei o 2 (dois) do lado direito da tabela, pois foi o número utilizado para dividir os outros. Como 3 não é divisível por 2, deve-se mantê-lo. Logo a tabela pode ser reescrita

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$  

Novamente o menor número que divide eles é o 2, então

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 2 }$

Observe que agora apareceu o número 1 (um), isso significa que não precisamos mais dividir esta parte

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ 

Note que nenhum número é divisível por 2, então vamos ao próximo menor número que divide pelo menos um termo. Neste caso vamos usar o 3.

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 3 }$

Após essa etapa veja que todos os temos são iguais a 1 (um), isso significa que chegamos ao final das reduções. 

${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$

Agora vamos pegar todos os números do lado direito da tabela, ou seja, aqueles utilizados para dividir os termos da esquerda. Em seguida é feito o produto deles (multiplicação).
Agora podemos reescrever a tabela para o cálculo do m.m.c.

${ 3 }$ $ , $ ${ 4 }$ $ , $ ${ 6 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 3 }$ $ , $ ${ 2 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 3 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 3 }$ $ || $ ${ 3 }$

${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ , $ ${ 1 }$ $ || $ ${ 2  .  2  .  3 = 12 }$

Ou seja o m.m.c. entre 3, 4 e 6 é 12.

Outro exemplo é o m.m.c. de 8 e 18

${ 8 }$ $ , $ ${ 18 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 4 }$ $ , $ ${  09 }$ $ || $ ${ 2 }$

${ 2 }$ $ , $ ${  09 }$ $ || $ ${ 2 }$
${ 1 }$ $ , $ ${  03 }$ $ || $ ${ 3 }$
${ 1 }$ $ , $ ${  01 }$ $ || $ ${ 3 }$

${ 1 }$ $ , $ ${  01 }$ $ || $ ${ 2  .  2  .  2 . 3 . 3 = 72 }$

Ou seja o m.m.c. entre 8 e 18 é 72.

(Eu utilizei o 0 (zero) para manter o alinhamento da tabela)

Operações com frações

As frações são comumente usadas para resoluções matemáticas (algébricas e numéricas)

Nesse contexto nota-se a importância de aprender a resolver as mais diversas operações envolvendo frações.

Primeiramente devemos entender as partes que compõem uma fração

${ numerador \over denominador }$

É importante salientar que tudo que estiver na parte superior será o numerador, e TUDO que estiver na parte inferior será o denominador. Há uma importância em salientar o TUDO para o denominador pois as regras para numeradores e para denominadores são diferentes.

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Adição de frações

Duas frações, ou mais, podem ser somadas diretamente se, e somente se, elas possuírem o mesmo denominador. Caso os denominadores das frações não sejam iguais é necessário calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre os denominadores.

Caso suas frações possuam o mesmo denominador, soma-se os numeradores e mantém o denominador. Conforme pode ser visto no exemplo abaixo:

${ 1 \over 5 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 4 \over 5 }$

Caso suas frações não possuam o mesmo denominador acesse o link a seguir e veja como é fácil calcular o m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum). O exemplo abaixo mostra a soma de duas frações com bases diferentes.

${ 2 \over 7 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 31 \over 35 } $

Agora vou mostrar passo a passo como fazer a soma de frações com denominador diferente. Primeiro passo é achar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, no caso acima o m.m.c. entre 5 e 7 é 35. Em seguida é feita a equivalência entre as frações, ou seja, elas devem ser reescritas utilizando o novo denominador. 

A primeira fração é ${ 2 \over 7 }$, logo

${ 2 \over 7 }$ $=$ ${ x \over 35 }$

resolvendo a equação acima temos que ${ x = 10 }$. Ou seja

${ 2 \over 7 }$ $=$ ${ 10 \over 35 }$

A segunda fração é ${ 3 \over 5 }$, logo

${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ x \over 35 }$

resolvendo a equação acima temos que ${ x = 21 }$. Ou seja

${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 21 \over 35 }$

Agora vamos reescrever a equação original e substituir os valores das frações antigas pelas novas.

${ 2 \over 7 }$ $+$ ${ 3 \over 5 }$ $=$ ${ 10 \over 35 }$ $+$ ${ 21 \over 35 }$ $=$ ${ 31 \over 35 }$

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Subtração de frações

A subtração de frações ocorre igual a adição, ou seja, primeiro deve-se olhar se os denominadores são iguais, em seguida é feita a operação de subtração com os numeradores e o denominador é mantido. Caso os denominadores sejam diferentes, a primeira etapa é achar o m.m.c. entre eles, fazer a transformação da fração inicial para a nova fração (cujo denominador é igual ao m.m.c.) e em seguida faz-se a subtração da fração.
Os dois exemplos abaixo mostram duas equações com subtração de fração.

${ 4 \over 7 }$ $-$ ${ 3 \over 7 }$ $=$ ${ 1 \over 7 }$

${ 5 \over 3 }$ $-$ ${ 1 \over 2 }$ $=$ ${ 7 \over 6 }$

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É importante lembrar que não se soma ou subtrai diretamente frações com denominadores diferentes.

link para multiplicação e divisão de frações